выберите разложения степени бинома. (3x+2)⁴
Чтобы разложить биномиальное выражение \((3x + 2)^4\), можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, которая выглядит следующим образом:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]
где \(C(n, k)\) — биномиальные коэффициенты, которые можно вычислить по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
В нашем случае \(a = 3x\), \(b = 2\) и \(n = 4\).
Вычислим биномиальные коэффициенты для \(n = 4\):
- \(C(4, 0) = 1\)
- \(C(4, 1) = 4\)
- \(C(4, 2) = 6\)
- \(C(4, 3) = 4\)
- \(C(4, 4) = 1\)
Подставим значения в формулу бинома Ньютона:
\[ (3x + 2)^4 = C(4, 0)(3x)^4(2)^0 + C(4, 1)(3x)^3(2)^1 + C(4, 2)(3x)^2(2)^2 + C(4, 3)(3x)^1(2)^3 + C(4, 4)(3x)^0(2)^4 \]
Это дает:
\[ 1 \cdot (3x)^4 \cdot 1 + 4 \cdot (3x)^3 \cdot 2 + 6 \cdot (3x)^2 \cdot 4 + 4 \cdot (3x) \cdot 8 + 1 \cdot 1 \cdot 16 \]
Теперь вычислим каждое слагаемое:
- \(1 \cdot (3x)^4 = 81x^4\)
- \(4 \cdot (3x)^3 \cdot 2 = 24 \cdot 27x^3 = 108x^3\)
- \(6 \cdot (3x)^2 \cdot 4 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 = 216x^2\)
- \(4 \cdot (3x) \cdot 8 = 96x\)
- \(1 \cdot 16 = 16\)
Теперь объединим все эти слагаемые:
\[ (3x + 2)^4 = 81x^4 + 108x^3 + 216x^2 + 96x + 16 \]
Таким образом, разложение степени бинома \((3x + 2)^4\) выглядит так:
\[ (3x + 2)^4 = 81x^4 + 108x^3 + 216x^2 + 96x + 16 \]
Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим разделам, не стесняйтесь задавать!
