Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то…

Давайте поэтапно решим задачу.

Ищем наибольшее трёхзначное число, состоящее из цифр \(a\), \(b\), и \(c\), где \(a\) — сотни, \(b\) — десятки, \(c\) — единицы. Мы имеем следующие условия:

1. Сумма его цифр равна 15:
   \[ a + b + c = 15 \]

2. Сумма квадратов его цифр равна 89:
   \[ a^2 + b^2 + c^2 = 89 \]

3. Если из этого числа вычесть 99, то получится число, записанное в обратном порядке, то есть:
   \[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \]

Упростим третье условие:
\[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \]
Убираем одинаковые члены и упрощаем:
\[ 100a - a - 99 = 100c - c \]
Это дает нам:
\[ 99a - 99 = 99c \]
Отсюда можно выразить:
\[ a - c = 1 \implies a = c + 1 \]

Теперь подставим \( a = c + 1 \) в первые два условия.

Первое условие: \[ (c + 1) + b + c = 15 \implies 2c + b + 1 = 15 \implies 2c + b = 14 \implies b = 14 - 2c \]

Второе условие: \[ (c + 1)^2 + b^2 + c^2 = 89 \]
Подставим \( b = 14 - 2c \):
\[ (c + 1)^2 + (14 - 2c)^2 + c^2 = 89 \]
Раскроем скобки:
\[ (c^2 + 2c + 1) + (196 - 56c + 4c^2) + c^2 = 89 \]
Суммируем:
\[ 6c^2 - 54c + 197 = 89 \]
Упрощаем:
\[ 6c^2 - 54c + 108 = 0 \]
Делим на 6:
\[ c^2 - 9c + 18 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = (-9)^2 - 4 \times 1 \times 18 = 81 - 72 = 9 \]

Корни:
\[ c = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2} = 6 \text{ или } 3 \]

Теперь подставим значения \(c\) обратно, чтобы найти соответствующие \(a\) и \(b\).

1. Если \( c = 6 \): \[ a = 6 + 1 = 7 \] \[ b = 14 - 2 \cdot 6 = 2 \] Число: 726.

2. Если \( c = 3 \): \[ a = 3 + 1 = 4 \] \[ b = 14 - 2 \cdot 3 = 8 \] Число: 483.

Теперь проверим оба числа на соответствие условиям:

Для 726:

• Сумма цифр: \(7 + 2 + 6 = 15\).
• Сумма квадратов: \(7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89\).
• Обратное: \(726 - 99 = 627\), действительно, это 726 с обратным порядком.

Для 483:

• Сумма цифр: \(4 + 8 + 3 = 15\).
• Сумма квадратов: \(4^2 + 8^2 + 3^2 = 16 + 64 + 9 = 89\).
• Обратное: \(483 - 99 = 384\), это не соответствует.

Таким образом, наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям, это 726.