Дима загадал трёхзначное число, в записи которого нет цифры 0. Далее он записал второе число, полученное из первого перестановкой цифр в разрядах сотен и единиц. А далее он вычел из первого числа второе. Какое наибольшее число мог в итоге получить Дима?

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Дима загадал трехзначное число, в записи которого нет цифры 0. Это означает, что каждая цифра может быть от 1 до 9.

2. Обозначим число Димы как \( abc \), где \( a \), \( b \) и \( c \) — цифры, соответствующие сотням, десяткам и единицам соответственно. Мы подразумеваем, что \( a \) — это первая цифра, \( b \) — вторая, и \( c \) — третья. Поскольку \( a \) не может быть равным 0, то \( a \) варьируется от 1 до 9.

3. Второе число, полученное перестановкой цифр, будет иметь вид \( bac \). Это означает, что цифры сотен и единиц поменялись местами.

4. Дима вычел второе число из первого: \[ abc - bac = (100a + 10b + c) - (100b + 10a + c) \]

5. Теперь упростим это выражение: \[ = 100a + 10b + c - 100b - 10a - c \] \[ = 100a - 10a + 10b - 100b + c - c \] \[ = 90a - 90b \] \[ = 90(a - b) \]

6. Таким образом, результат будет равен \( 90(a - b) \). Чтобы получить наибольшее значение, нам нужно максимизировать выражение \( a - b \). Поскольку обе цифры \( a \) и \( b \) могут быть от 1 до 9, наибольшее значение \( a \) будет 9, а минимальное значение \( b \) будет 1.

7. Подставим максимальные значения: \[ a - b = 9 - 1 = 8 \] Следовательно, \[ 90(a - b) = 90 \times 8 = 720. \]

Таким образом, наибольшее число, которое мог в итоге получить Дима, равно 720.