Реши tg(a+b)=?, если sin a=1/√5, sin b=1/√10, П/2<а<П,П/2

Чтобы решить уравнение \( \tan(a+b) \), мы можем использовать формулу для тангенса суммы углов:

\[ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \]

Сначала нам нужно найти значения \( \tan a \) и \( \tan b \) с использованием данных значений \( \sin a \) и \( \sin b \).

1. Найдем \( \cos a \): У нас есть \( \sin a = \frac{1}{\sqrt{5}} \). Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставляем значение \( \sin a \): \[ \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{1}{5} + \cos^2 a = 1 \] \[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \] Поскольку \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \), то \( \cos a < 0 \): \[ \cos a = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \]

2. Теперь найдем \( \tan a \): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{-\frac{2}{\sqrt{5}}} = -\frac{1}{2} \]

3. Найдем \( \cos b \): У нас есть \( \sin b = \frac{1}{\sqrt{10}} \). Аналогично находим \( \cos b \): \[ \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 + \cos^2 b = 1 \] \[ \frac{1}{10} + \cos^2 b = 1 \] \[ \cos^2 b = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \] Поскольку \( \frac{\pi}{2} < b < \pi \), то \( \cos b < 0 \): \[ \cos b = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} \]

4. Теперь найдем \( \tan b \): \[ \tan b = \frac{\sin b}{\cos b} = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}} = -\frac{1}{3} \]

5. Теперь можем найти \( \tan(a + b) \) с помощью формулы: Подставим найденные значения: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)} \] Приведем к общему знаменателю: \[ -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{3}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{5}{6} \] Теперь подставим в знаменатель: \[ 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \] Теперь все подставим: \[ \tan(a + b) = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = -1 \]

Итак, ответ: \[ \tan(a + b) = -1 \]