Решите уравнение x2+y2-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x-3y

Давайте рассмотрим уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) и решим его в целых числах.

Сначала упростим уравнение. Мы можем переписать его следующим образом, сгруппировав члены:

\[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 0 \]

Теперь завершите квадрат для каждого из выражений.

1. Для \( x^2 - 2x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \( y^2 + 6y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ ((x - 1)^2 - 1) + ((y + 3)^2 - 9) = 0 \] Упрощаем:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь мы видим, что это уравнение окружности с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Нам нужно найти целочисленные решения этого уравнения.

Рассмотрим целые точки, которые находятся на окружности радиуса \( \sqrt{10} \). Возможные пары \( (a, b) \), такие что \( a^2 + b^2 = 10 \), это:

• \( (3, 1) \)
• \( (1, 3) \)
• \( (-3, 1) \)
• \( (-1, 3) \)
• \( (3, -1) \)
• \( (1, -3) \)
• \( (-3, -1) \)
• \( (-1, -3) \)

Теперь, чтобы найти целые решения \( x \) и \( y \), подставим значения для \( a \) и \( b \):

1. Пара \( (3, 1) \):
   \( (x - 1)^2 = 9 \) дает \( x = 4 \) или \( x = -2 \),
   \( (y + 3)^2 = 1 \) дает \( y = -2 \) или \( y = -4 \).

   Решения:

   • \( (4, -2) \)
   • \( (-2, -4) \)

2. Пара \( (1, 3) \): \( (x - 1)^2 = 1 \) дает \( x = 2 \) или \( x = 0 \),
   \( (y + 3)^2 = 9 \) дает \( y = 6 \) или \( y = 0 \).

   Решения:

   • \( (2, 6) \)
   • \( (0, 0) \)

А теперь нам нужно вычислить \( x - 3y \) для всех найденных решений и выбрать максимальное:

1. Для \( (4, -2) \):
   \( 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)

2. Для \( (-2, -4) \):
   \( -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \)

3. Для \( (2, 6) \):
   \( 2 - 3(6) = 2 - 18 = -16 \)

4. Для \( (0, 0) \):
   \( 0 - 3(0) = 0 \)

Сравнивая все полученные значения \( x - 3y \), максимальное значение будет \( 10 \).

Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно 10.