Найдите четвёртое слагаемое в разложении (2t-3)⁴

Чтобы найти четвёртое слагаемое в разложении выражения \((2t-3)^4\), мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

где \(C(n, k)\) – это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае \(a = 2t\), \(b = -3\) и \(n = 4\).

Четвёртое слагаемое соответствует \(k = 3\) (помним, что нумерация слагаемых начинается с \(k = 0\)).

Теперь вычислим биномиальный коэффициент \(C(4, 3)\):

\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1} = 4 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ C(4, 3) \cdot (2t)^{4-3} \cdot (-3)^3 = 4 \cdot (2t)^1 \cdot (-3)^3 \]

Теперь вычислим каждую часть:

\[ (-3)^3 = -27 \]

\[ (2t)^1 = 2t \]

Теперь подставим эти значения:

\[ 4 \cdot 2t \cdot (-27) = 4 \cdot (-54t) = -216t \]

Таким образом, четвёртое слагаемое в разложении \((2t-3)^4\) равно \(-216t\).