Найдите сумму третьего слагаемого разложения степени бинома (4n+3)⁴ и четвёртого слагаемого в разложении степени бинома (3n+4)⁵
Чтобы найти сумму третьего слагаемого разложения степени бинома \( (4n+3)^4 \) и четвёртого слагаемого в разложении степени бинома \( (3n+4)^5 \), воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая гласит:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \]
где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, вычисляемый как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
1. Третье слагаемое разложения \( (4n+3)^4 \):
Третье слагаемое соответствует \( k=2 \) (поскольку нумерация начинается с 0):
\[ C(4, 2) (4n)^{4-2} (3)^2 \]
Вычислим сначала биномиальный коэффициент:
\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \]
Теперь подставим значения в выражение:
\[ 6 \cdot (4n)^2 \cdot 3^2 = 6 \cdot 16n^2 \cdot 9 = 864n^2 \]
2. Четвёртое слагаемое разложения \( (3n+4)^5 \):
Четвёртое слагаемое соответствует \( k=3 \):
\[ C(5, 3) (3n)^{5-3} (4)^3 \]
Вычислим биномиальный коэффициент:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \]
Теперь подставим значения:
\[ 10 \cdot (3n)^2 \cdot 4^3 = 10 \cdot 9n^2 \cdot 64 = 5760n^2 \]
3. Найдем сумму:
Теперь сложим оба слагаемых:
\[ 864n^2 + 5760n^2 = 6124n^2 \]
Таким образом, сумма третьего слагаемого разложения бинома \( (4n+3)^4 \) и четвёртого слагаемого в разложении бинома \( (3n+4)^5 \) равна:
\[ 6124n^2 \]
