Найдите сумму третьего слагаемого разложения степени бинома (4n+3)⁴ и четвёртого слагаемого в разложении степени бинома (3n+4)⁵ выберите один правильный вариант ответа. 1. 864n² 2. 6624n² 3. 5760n² 4. 4896n²
Для нахождения суммы третьего слагаемого разложения бинома \((4n + 3)^4\) и четвёртого слагаемого в разложении бинома \((3n + 4)^5\) воспользуемся формулой бинома Ньютона:
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k \]
где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\).
- Находим третье слагаемое разложения \((4n + 3)^4\):
Согласно формуле, третье слагаемое соответствует \(k = 2\) (так как индекс слагаемого начинается с 0):
\[ C(4, 2) (4n)^{4-2} (3)^2 \]
Считаем по частям:
- Биномиальный коэффициент:
\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]
- Теперь подставим значения:
\[ (4n)^{2} = 16n^2 \quad \text{и} \quad (3)^2 = 9 \]
Теперь вычислим слагаемое:
\[ 6 \times 16n^2 \times 9 = 864n^2 \]
- Теперь находим четвёртое слагаемое разложения \((3n + 4)^5\):
Четвёртое слагаемое соответствует \(k = 3\):
\[ C(5, 3) (3n)^{5-3} (4)^3 \]
Считаем также по частям:
- Биномиальный коэффициент:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
- Затем подставим значения:
\[ (3n)^{2} = 9n^2 \quad \text{и} \quad (4)^{3} = 64 \]
Теперь вычислим слагаемое:
\[ 10 \times 9n^2 \times 64 = 5760n^2 \]
- Суммируем полученные слагаемые:
\[ 864n^2 + 5760n^2 = 6240n^2 \]
Теперь проверим данный выбор:
Правильный ответ среди предложенных вариантов:
- \(864n²\)
- \(6624n²\)
- \(5760n²\)
- \(4896n²\)
Сумма равна \(6240n²\), но данный вариант отсутствует. Если предположить, что мы ошиблись в интерпретации задачи или в расчетах, стоит пересмотреть ответ. Всегда полезно дважды проверять детали вычислений. Однако, исходя из полученных значений, не нашлось варианта в списке ответов.
Если возникли дополнительные вопросы или необходимость в уточнениях, всегда рады помочь!
