Найдите значение бинома разложение в степени которого является

Привет! Давай разберемся с этой задачей.

На фото мы видим выражение, которое использует коэффициенты бинома Ньютона. Давай вспомним, что это такое.

Коэффициент бинома \( C_n^k \) — это количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \). Наше выражение состоит из суммы нескольких таких коэффициентов, умноженных на выражения с числами в степени.

Выражение: \[ C_5^3 \cdot 5 + C_5^3 \cdot 3^3 \cdot 2 + C_5^3 \cdot 3^2 \cdot 2^2 + C_5^3 \cdot 3 \cdot 2^3 + C_5^3 \cdot 2^4 + C_5^5 \cdot 2^5 \]

Давай посчитаем каждый из них:

1. \( C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 \)
2. \( C_5^5 = 1 \) (потому что это всегда 1, когда к и n одинаковы)

Теперь подставим и решим:

1. \( 10 \cdot 5 = 50 \)
2. \( 10 \cdot 3^3 \cdot 2 = 10 \cdot 27 \cdot 2 = 540 \)
3. \( 10 \cdot 3^2 \cdot 2^2 = 10 \cdot 9 \cdot 4 = 360 \)
4. \( 10 \cdot 3 \cdot 2^3 = 10 \cdot 3 \cdot 8 = 240 \)
5. \( 10 \cdot 2^4 = 10 \cdot 16 = 160 \)
6. \( 1 \cdot 2^5 = 1 \cdot 32 = 32 \)

Теперь сложим все результаты:

\[ 50 + 540 + 360 + 240 + 160 + 32 = 1382 \]

Ответ: 1382.

Если что-то непонятно, дай знать!