Дима загадал трёхзначные число,в записи которого нет цифры 0. Далее он записал второе число, полученное из первого перестановкой цифр в разрядах сотен и единиц. А далее он вычел…

Для решения задачи рассмотрим, как выглядит трехзначное число без нуля. Пусть это число обозначается как \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — это цифры от 1 до 9 (так как ноль не допускается). Таким образом, \(a\) — цифра сотен, \(b\) — цифра десятков, \(c\) — цифра единиц.

При перестановке цифр сотен и единиц, мы получаем новое число \(cab\). Теперь нам нужно найти разность между первым числом и новым:

\[ abc - cab = (100a + 10b + c) - (100c + 10a + b). \]

Упрощим это выражение:

\[ = 100a + 10b + c - 100c - 10a - b, \] \[ = 100a - 10a + 10b - b + c - 100c, \] \[ = 90a + 9b - 99c. \]

Теперь, чтобы упростить выражение, выделим 9:

\[ = 9(10a + b - 11c). \]

Чтобы получить наибольшее значение, мы должны максимизировать выражение \(10a + b - 11c\). Поскольку \(a\), \(b\) и \(c\) могут принимать значения от 1 до 9, вместо подстановки значений можно использовать методы перебора, чтобы найти оптимальные цифры.

Самый подходящий вариант для \(c\), чтобы упростить ситуацию, будет минимизировать его значение, поскольку он имеет отрицательный коэффициент. Если \(c = 1\), попробуем максимизировать \(a\) и \(b\):

1. Пусть \(a = 9\) (максимально возможное значение),
2. Теперь пробуем разные значения для \(b\):

• Если \(b = 9\), то:
  \(10 * 9 + 9 - 11 * 1 = 90 + 9 - 11 = 88 \)

• Если \(b = 8\), то:
  \(10 * 9 + 8 - 11 * 1 = 90 + 8 - 11 = 87 \)

Понятно, что при увеличении \(b\) и фиксированном небольшом \(c\) (как 1), значение \(10a + b - 11c\) будет значительно высоко.

Итак, находя максимум для:

\[ 9(10 \cdot 9 + 9 - 11 \cdot 1) = 9 \cdot 88 = 792. \]

Таким образом, наибольшее число, которое мог получить Дима, равно 792.