Решите в натуральных числах уравнение m² = 55+ n². В ответ запишите сумму полученных значений m.

Для решения уравнения \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, сначала преобразуем его:

1. Перепишем уравнение в другой форме: \[ m^2 - n^2 = 55 \] Это уравнение можно представить как разность квадратов: \[ (m - n)(m + n) = 55 \]

2. Теперь нужно рассмотреть все пары натуральных чисел, произведение которых равно 55. Пары можно найти через разложение числа 55 на множители:

   • \( 1 \cdot 55 \)
   • \( 5 \cdot 11 \)

3. Рассмотрим каждую пару:

   • Для \( m - n = 1 \) и \( m + n = 55 \):

     • Сложив эти два уравнения, получим: \[ 2m = 56 \quad \Rightarrow \quad m = 28 \] Вычтя первое уравнение из второго: \[ 2n = 54 \quad \Rightarrow \quad n = 27 \]

   • Для \( m - n = 5 \) и \( m + n = 11 \):

     • Сложив эти два уравнения, получим: \[ 2m = 16 \quad \Rightarrow \quad m = 8 \] Вычтя первое уравнение из второго: \[ 2n = 6 \quad \Rightarrow \quad n = 3 \]

4. Теперь у нас есть два решения в натуральных числах:

   • \( m = 28 \) и \( n = 27 \)
   • \( m = 8 \) и \( n = 3 \)

5. Вычислим сумму всех значений \( m \): \[ 28 + 8 = 36 \]

Таким образом, сумма полученных значений \( m \) равна 36.