Решите неравенство 4/x больше или равно 4 - х. В ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [-6; 6].
Для решения неравенства \( \frac{4}{x} \geq 4 - x \), начнем с преобразования неравенства.
Умножим обе части неравенства на \( x \), при условии, что \( x \neq 0 \) (в противном случае, деление на ноль невозможно). Учтем при этом, что при умножении на положительное \( x \) знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное \( x \) – меняется:
\[ 4 \geq (4 - x)x \]
Это можно записать как:
\[ 4 \geq 4x - x^2 \] или, после приведения всех членов к одной стороне:
\[ x^2 - 4x + 4 \geq 0 \]
Преобразуем данное неравенство:
\[ (x - 2)^2 \geq 0 \]
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство выполняется для всех \( x \) с исключением, когда \( (x - 2)^2 = 0 \), что означает \( x = 2 \).
Таким образом, неравенство выполняется при всех \( x \), кроме \( x = 2 \). Теперь рассмотрим целые решения в промежутке \([-6; 6]\).
Целые числа в этом промежутке: \(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Теперь исключим \( x = 2 \), так как это значение делает неравенство равным нулю. Остальные значения: \(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6\).
- Суммируем оставшиеся целые решения:
\[ -6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 \]
Группируем значения для удобства:
\[ (-6 + 6) + (-5 + 5) + (-4 + 4) + (-3 + 3) + (-2 + 2) + (-1 + 1) + 0 = 0 \]
Итак, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \([-6; 6]\), составляет 0.
