В школе прошла игра «Выборы президента». На пост президента выдвинули свои кандидатуры четыре ученика старших классов. Избирательная комиссия сообщила итоги голосования. Кандидаты Максим и Андрей вместе набрали 42% голосов избирателей, причём Андрей набрал в пять раз больше голосов, чем Максим. Голоса, которые набрали Иван и Лиза, распределились в отношении 16:13. Андрей набрал на 48 голосов больше, чем Иван. Сколько голосов набрал победитель выборов?
Для решения данной задачи начнем с обозначений кандидатов и нужных величин.
Обозначим количество голосов, которые набрал Максим, как \( x \). Тогда количество голосов, которые набрал Андрей, будет \( 5x \) (так как Андрей набрал в пять раз больше голосов, чем Максим).
Согласно условию, Максим и Андрей вместе набрали 42% голосов избирателей:
\[ x + 5x = 6x \quad \text{и} \quad 6x = 0.42 \cdot V, \]
где \( V \) — общее количество голосов.
Теперь выразим \( V \):
\[ V = \frac{6x}{0.42} = \frac{6x \cdot 100}{42} = \frac{600x}{42} = \frac{100x}{7}. \]
Теперь перейдем к следующей части задачи, где у нас есть Иван и Лиза. Пусть количество голосов, которые набрал Иван, равно \( y \). То тогда количество голосов Лизы будет \( \frac{13}{16}y \), так как голоса Лизы и Ивана распределились в отношении 16:13.
Согласно условию, Андрей набрал на 48 голосов больше, чем Иван:
\[ 5x = y + 48. \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( x + 5x + y + \frac{13}{16}y = V \).
- \( 5x = y + 48 \).
Подставим значение \( V \) из первого уравнения во второе.
Сначала упростим первое уравнение:
\[ 6x + y + \frac{13}{16}y = \frac{100x}{7}. \]
Объединим \( y \) и \( \frac{13}{16}y \):
\[ y + \frac{13}{16}y = \frac{16}{16}y + \frac{13}{16}y = \frac{29}{16}y. \]
Таким образом, первое уравнение выглядит так:
\[ 6x + \frac{29}{16}y = \frac{100x}{7}. \]
Теперь умножим всё уравнение на 16, чтобы избавиться от дробей:
\[ 96x + 29y = \frac{1600x}{7}. \]
Теперь умножим обе стороны на 7, чтобы убрать знаменатель:
\[ 672x + 203y = 1600x. \]
Теперь упростим это уравнение:
\[ 203y = 1600x - 672x, \] \[ 203y = 928x. \] \[ y = \frac{928}{203}x. \]
Теперь подставим это выражение для \( y \) в уравнение \( 5x = y + 48 \):
\[ 5x = \frac{928}{203}x + 48. \]
Умножим всё уравнение на 203, чтобы избавиться от дробей:
\[ 1015x = 928x + 48 \cdot 203, \] \[ 1015x - 928x = 9744, \] \[ 87x = 9744, \] \[ x = \frac{9744}{87} = 112. \]
Теперь находим количество голосов Андрея:
\[ 5x = 5 \cdot 112 = 560. \]
Теперь можем найти количество голосов Ивана:
\[ y = 560 - 48 = 512. \]
Итак, общее количество голосов избирателей:
\[ V = 6x + y + \frac{13}{16}y = 6 \cdot 112 + 512 + \frac{13}{16} \cdot 512. \]
Вычисляем, сколько голосов выдала Лиза:
\[ \frac{13}{16} \cdot 512 = 416. \]
Таким образом, общее количество голосов:
\[ 672 + 512 + 416 = 1600. \]
Теперь подсчитаем, сколько голосов набрал победитель. Победителем является Андрей, у которого 560 голосов. Таким образом, победитель выборов набрал 560 голосов.
