Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?
Для решения этой задачи можно использовать биномиальное распределение. При бросании монеты 5 раз (n = 5) мы хотим узнать вероятность того, что орёл (успех) выпадет ровно 4 раза (k = 4).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
- \( p \) — вероятность успеха (в данном случае, вероятность выпадения орла, равная 0.5),
- \( n \) — общее количество испытаний,
- \( k \) — количество успехов.
В данном случае:
- \( n = 5 \),
- \( k = 4 \),
- \( p = 0.5 \).
Сначала найдём биномиальный коэффициент \( C(5, 4) \):
\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5. \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{5 - 4} \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^1 \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^5 \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot \frac{1}{32} \] \[ P(X = 4) = \frac{5}{32}. \]
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты, составляет \(\frac{5}{32}\).
