В 10:00 от пристани А вниз по течению реки к пристани В отправляются катер и моторная лодка. Скорости относительно воды катера и лодки равны 45 км/ч и 30 км/ч соответственно. На половине пути водитель катера заглушил мотор и 50 мин дрейфовал вниз по течению, не причаливая к берегу. После этого он завёл мотор и продолжил движение с прежней скоростью в направлении пристани В. В результате к этой пристани катер и лодка прибыли одновременно. 2a. (4 балла) Найдите максимальное расстояние между катером и лодкой во время движения, если скорость течения равна 5 км/ч. Ответ выразите в км, округлите до целого числа.
Для решения этой задачи нам нужно сначала определить, какое расстояние преодолевают катер и лодка, а также выяснить, как их скорости изменяются в зависимости от течения реки.
Скорости катера и лодки относительно земли:
- Скорость катера относительно воды: 45 км/ч.
- Скорость лодки относительно воды: 30 км/ч.
- Скорость течения реки: 5 км/ч.
Следовательно, скорости катера и лодки относительно земли будут:
- Скорость катера относительно земли: 45 + 5 = 50 км/ч (вниз по течению).
- Скорость лодки относительно земли: 30 + 5 = 35 км/ч (вниз по течению).
Обозначим расстояние от пристани A до пункта, в котором катер заглушил мотор, как S. Так как водитель катера заглушил мотор на половине пути, это означает, что до этого он проплыл S/2.
Чтобы найти максимальное расстояние между катером и лодкой, определим время движения.
Время, необходимое катеру для преодоления расстояния S/2: \[ t_{катер} = \frac{S/2}{50} = \frac{S}{100} \text{ часов}. \]
После этого катер 50 минут (это 5/6 часа) дрейфует. Таким образом, общее время, проведенное катером до момента, когда он снова включил мотор: \[ t_{катер, общий} = \frac{S}{100} + \frac{5}{6} \text{ часов}. \]
После того, как катер снова включил мотор, ему оставалось пройти еще S/2. Время, необходимое катеру для этого: \[ t_{катер, S/2} = \frac{S/2}{50} = \frac{S}{100} \text{ часов}. \]
Таким образом, общее время, которое потребуется катеру для того, чтобы дойти до пристани B: \[ t_{катер, до B} = \left(\frac{S}{100} + \frac{5}{6} + \frac{S}{100}\right) = \frac{S}{50} + \frac{5}{6} \text{ часов}. \]
Лодка двигалась с постоянной скоростью 35 км/ч. Время, которое она потратила на преодоление расстояния S: \[ t_{лодка} = \frac{S}{35} \text{ часов}. \]
Поскольку катер и лодка прибыли одновременно, можем записать уравнение: \[ \frac{S}{50} + \frac{5}{6} = \frac{S}{35}. \]
Умножим всё уравнение на 350 (наименьшее общее кратное): \[ 7S + 291.67 = 10S. \] \[ 3S = 291.67 \quad \Rightarrow \quad S \approx 97.22 \text{ км}. \]
Теперь можем найти максимальное расстояние между катером и лодкой во время движения:
Когда катер заглушил мотор и начал дрейфовать, лодка продолжала двигаться. На время дрейфа катера, лодка проплыла расстояние: \[ d_{лодка} = 35 \times \frac{50}{60} = 29.17 \text{ км}. \]
Расстояние, на которое катер дрейфовал, было всего лишь расстоянием, которое лодка прошла за это время, и на момент, когда катер снова включил мотор, максимальное расстояние между ними будет равно: \[ d_{max} = d_{лодка} = 29.17 \text{ км}. \]
Округляя до целого числа, максимальное расстояние между катером и лодкой составляет 29 км.
