Реши систему с двумя уравнениями: x^2+3xy=4 и 4y^2+xy=5

Для решения системы уравнений

1. \( x^2 + 3xy = 4 \)
2. \( 4y^2 + xy = 5 \)

начала выразим одно из переменных через другое. Например, из первого уравнения выразим \( y \):

\[ x^2 + 3xy = 4 \implies 3xy = 4 - x^2 \implies y = \frac{4 - x^2}{3x} \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:

\[ 4y^2 + xy = 5 \]

Подставим \( y = \frac{4 - x^2}{3x} \):

\[ 4\left(\frac{4 - x^2}{3x}\right)^2 + x\left(\frac{4 - x^2}{3x}\right) = 5 \]

Упростим каждую часть:

1. Для \( 4y^2 \):

\[ 4\left(\frac{4 - x^2}{3x}\right)^2 = 4 \cdot \frac{(4 - x^2)^2}{9x^2} = \frac{4(16 - 8x^2 + x^4)}{9x^2} = \frac{64 - 32x^2 + 4x^4}{9x^2} \]

2. Для \( xy \):

\[ x\left(\frac{4 - x^2}{3x}\right) = \frac{4 - x^2}{3} \]

Теперь подставим эти упрощения обратно в второе уравнение:

\[ \frac{64 - 32x^2 + 4x^4}{9x^2} + \frac{4 - x^2}{3} = 5 \]

Умножим всё уравнение на \( 9x^2 \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 64 - 32x^2 + 4x^4 + 3(4 - x^2) \cdot 3x^2 = 45x^2 \]

Упростим:

\[ 64 - 32x^2 + 4x^4 + 12x^2 - 3x^4 = 45x^2 \]

Объединим подобные члены:

\[ 64 + (4x^4 - 3x^4) + (-32x^2 + 12x^2 - 45x^2) = 0 \]

\[ 64 + x^4 - 65x^2 = 0 \]

Теперь приведем всё к стандартному виду:

\[ x^4 - 65x^2 + 64 = 0 \]

Обозначим \( z = x^2 \):

\[ z^2 - 65z + 64 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-65)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 4225 - 256 = 3969 \]

Теперь найдем корни:

\[ z = \frac{65 \pm \sqrt{3969}}{2} \]

Так как \( \sqrt{3969} = 63 \):

\[ z_1 = \frac{128}{2} = 64 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

Вернемся к \( x \):

1. \( z_1 = 64 \implies x^2 = 64 \implies x = 8 \text{ или } x = -8 \)
2. \( z_2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ или } x = -1 \)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):

Для \( x = 8 \): \[ y = \frac{4 - 8^2}{3 \cdot 8} = \frac{4 - 64}{24} = \frac{-60}{24} = -\frac{5}{2} \]

Для \( x = -8 \): \[ y = \frac{4 - (-8)^2}{3 \cdot (-8)} = \frac{4 - 64}{-24} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2} \]

Для \( x = 1 \): \[ y = \frac{4 - 1^2}{3 \cdot 1} = \frac{4 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Для \( x = -1 \): \[ y = \frac{4 - (-1)^2}{3 \cdot (-1)} = \frac{4 - 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1 \]

Итак, у нас есть четыре решения:

1. \( (8, -\frac{5}{2}) \)
2. \( (-8, \frac{5}{2}) \)
3. \( (1, 1) \)
4. \( (-1, -1) \)

Таким образом, мы успешно решили систему уравнений. Если есть ещё вопросы, пожалуйста, задавайте!