Решите в натуральных числах уравнение м² = 55 + n² в ответ запишите сумму полученных значений м

Чтобы решить уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, начнем с того, что нам нужно выразить \( m \) и \( n \) через целые числа.

1. Перепишем уравнение: \[ m^2 - n^2 = 55 \] Это уравнение можно также записать в виде разности квадратов: \[ (m - n)(m + n) = 55 \]

2. Теперь найдем все пары множителей числа 55. Число 55 имеет следующие натуральные делители:

   • \( (1, 55) \)
   • \( (5, 11) \)

3. Каждая пара множителей \( (d_1, d_2) \) соответствует: \[ m - n = d_1 \quad \text{и} \quad m + n = d_2 \]

4. Теперь решим для каждой пары множителей.

   Пара (1, 55): \[ m - n = 1 \\ m + n = 55 \] Сложив два уравнения: \[ 2m = 56 \implies m = 28 \\ n = m - 1 = 28 - 1 = 27 \]

   Пара (5, 11): \[ m - n = 5 \\ m + n = 11 \] Сложив два уравнения: \[ 2m = 16 \implies m = 8 \\ n = m - 5 = 8 - 5 = 3 \]

5. Теперь у нас есть два решения: \( (m, n) = (28, 27) \) и \( (m, n) = (8, 3) \).

6. Найдем сумму значений \( m \): \[ 28 + 8 = 36 \]

Таким образом, ответ: сумма полученных значений \( m \) равна 36.