Сколько существует натуральных пар чисел x и y таких что 3X + 4y = 100

Для нахождения натуральных пар чисел \( x \) и \( y \), удовлетворяющих уравнению \( 3x + 4y = 100 \), необходимо следовать следующим шагам.

1. Преобразуем уравнение: Найдем \( y \) через \( x \): \[ 4y = 100 - 3x \] \[ y = \frac{100 - 3x}{4} \]

2. Определим условия для натуральных чисел: Поскольку \( y \) должно быть натуральным числом, \( 100 - 3x \) должно быть кратно 4 и больше нуля. Следовательно, \( 100 - 3x > 0 \) и \( 100 - 3x \equiv 0 \mod 4 \).

3. Найдём границы для \( x \):

   • Из неравенства \( 100 - 3x > 0 \) получаем: \[ 100 > 3x \quad \Rightarrow \quad x < \frac{100}{3} \approx 33.33 \] Значит, возможные значения \( x \) могут принимать значения от 1 до 33.

4. Рассмотрим, когда \( 100 - 3x \) делится на 4: \[ 100 \equiv 0 \mod 4 \quad \text{и} \quad 3x \equiv 0 \mod 4 \] Так как \( 3 \) и \( 4 \) взаимно простые, \( x \) должно быть кратно \( 4 \), так как \( 3 \) не делит на 4.

   Таким образом, \( x = 4k \) для \( k \in \mathbb{N} \).

5. Найдём максимальное значение \( k \): \[ 4k < 33.33 \quad \Rightarrow \quad k < 8.33 \] Это значит, возможные значения \( k \) могут быть от 1 до 8.

6. Подсчитаем количество натуральных пар \((x, y)\): Для каждого \( k \) от 1 до 8, мы вычисляем:

   • \( x = 4k \)
   • Подставляем \( x \) в уравнение для нахождения \( y \): \[ y = \frac{100 - 3(4k)}{4} = 25 - 3k \] Где \( y \) также должно быть больше 0, значит: \[ 25 - 3k > 0 \quad \Rightarrow \quad k < \frac{25}{3} \approx 8.33 \]

Теперь можно узнать, что параметры \( k \) принимают значения от 1 до 8, что дает 8 возможных пар.

Таким образом, существует 8 натуральных пар чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \( 3x + 4y = 100 \).