В двузначном числе А поменяли цифры местами и получи-ли число В. Найдите такое А, чтобы сумма А + В делилась на 17

Обозначим двузначное число \( A \) как \( 10a + b \), где \( a \) — это десятки (цифра, которая стоит в десятках), а \( b \) — единицы (цифра, которая стоит в единицах). Поскольку \( A \) — двузначное число, \( a \) может принимать значения от 1 до 9, а \( b \) — от 0 до 9.

После перестановки цифр получаем число \( B = 10b + a \).

Теперь вычислим сумму \( A + B \): \[ A + B = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b). \]

Нам нужно, чтобы эта сумма делилась на 17: \[ 11(a + b) \equiv 0 \mod 17. \]

Сначала обратим внимание на множитель 11. Для того чтобы \( 11(a + b) \) делился на 17, необходимо, чтобы \( a + b \) делился на 17, так как 11 и 17 являются взаимно простыми.

Однако \( a + b \) в нашем случае может принимать значения от 1 (если \( a = 1, b = 0 \)) до 18 (если \( a = 9, b = 9 \)). Поскольку 17 — это число больше 18, единственное возможное значение для \( a + b \), которое делилось бы на 17, — это 17.

Таким образом, при \( a + b = 17 \) возможно единственное решение: \[ a = 9, b = 8. \]

Тогда: \[ A = 10a + b = 10 \cdot 9 + 8 = 98, \] \[ B = 10b + a = 10 \cdot 8 + 9 = 89. \]

Проверим: \[ A + B = 98 + 89 = 187. \]

Теперь проверим делимость на 17: \[ 187 \div 17 = 11. \]

Так что остатка нет, и 187 действительно делится на 17.

Таким образом, искомое двузначное число \( A \) — это \( 98 \).