4/x≤4-x

Чтобы решить неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \), начнем с преобразования его.

1. Переносим все слагаемые на одну сторону: \[ \frac{4}{x} - 4 + x \leq 0 \]

2. Для удобства, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( x \): \[ \frac{4 - 4x + x^2}{x} \leq 0 \]

   Здесь мы упростили выражение до \( x^2 - 4x + 4 \) в числителе.

3. Теперь перепишем неравенство так: \[ \frac{(x - 2)^2}{x} \leq 0 \]

4. Анализируем числитель и знаменатель. Числитель \( (x - 2)^2 \) всегда неотрицателен (равен нулю только при \( x = 2 \)). Знаменатель \( x \) равен 0 при \( x = 0 \).

5. Мы знаем, что:

   • Если \( x > 0 \), то \( \frac{(x - 2)^2}{x} \geq 0 \).
   • Если \( x < 0 \), то \( \frac{(x - 2)^2}{x} \leq 0 \) (числитель положителен, а знаменатель отрицателен).

6. Теперь мы поймем, при каких значениях \( \frac{(x - 2)^2}{x} = 0 \):

   • Это происходит, когда \( (x - 2)^2 = 0 \), то есть \( x = 2 \).

7. Рассматриваем, при каких значениях неравенство выполняется:

   • Для \( x < 0 \), \( \frac{(x - 2)^2}{x} \leq 0 \).
   • И при \( x = 2 \) неравенство также выполняется.

Итак, решение неравенства: \[ x < 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \] То есть, множество решений: \( (-\infty, 0) \cup \{2\} \).

Если есть дополнительные вопросы по решению, не стесняйтесь задавать!