Решите в натуральных числах уравнение m^2=55+n^2

Чтобы решить уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, давайте сначала преобразуем его:

\[ m^2 - n^2 = 55. \]

Это уравнение можно переписать в виде разности квадратов:

\[ (m - n)(m + n) = 55. \]

Теперь нужно найти все пары натуральных чисел \( (m - n) \) и \( (m + n) \), которые в произведении дают 55. Разложим 55 на множители:

Пары множителей числа 55:

• \( 1 \times 55 \)
• \( 5 \times 11 \)

Для каждой пары будем решать систему уравнений:

1. Первая пара: \( m - n = 1 \) и \( m + n = 55 \)

   Складываем эти уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 1 + 55, \] \[ 2m = 56 \Rightarrow m = 28. \]

   Теперь подставим значение \( m \) в одно из уравнений, например, \( m - n = 1 \): \[ 28 - n = 1 \Rightarrow n = 27. \]

   Получили решение \( (m, n) = (28, 27) \).

2. Вторая пара: \( m - n = 5 \) и \( m + n = 11 \)

   Складываем эти уравнения: \[ (m - n) + (m + n) = 5 + 11, \] \[ 2m = 16 \Rightarrow m = 8. \]

   Подставляем значение \( m \) в одно из уравнений, например, \( m - n = 5 \): \[ 8 - n = 5 \Rightarrow n = 3. \]

   Получили решение \( (m, n) = (8, 3) \).

Таким образом, уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) имеет два решения в натуральных числах:

1. \( (m, n) = (28, 27) \)
2. \( (m, n) = (8, 3) \)