Решите уравнение ||x| − 1| + ||x| + 2| = 3. Ответ запишите в виде числового промежутка [a, b]
Для решения уравнения \( ||x| - 1| + ||x| + 2| = 3 \), начнем с введения обозначения \( y = |x| \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ ||y| - 1| + ||y| + 2| = 3. \]
Теперь нужно рассмотреть разные случаи в зависимости от значений \( y \).
Первый случай: \( y \geq 1 \)
В этом случае:
\[ ||y| - 1| = y - 1, \] \[ ||y| + 2| = y + 2. \]
Следовательно, уравнение примет вид:
\[ (y - 1) + (y + 2) = 3. \]
Упрощаем его:
\[ 2y + 1 = 3 \implies 2y = 2 \implies y = 1. \]
Так как \( y \geq 1 \), это значение допустимо.
Второй случай: \( 0 \leq y < 1 \)
Здесь:
\[ ||y| - 1| = 1 - y, \] \[ ||y| + 2| = y + 2. \]
Тогда уравнение станет:
\[ (1 - y) + (y + 2) = 3. \]
Упрощаем:
\[ 1 - y + y + 2 = 3 \implies 3 = 3. \]
Это верное равенство для всех \( y \) в интервале \( [0, 1) \).
Третий случай: \( y < 0 \)
Этот случай не имеет смысла, так как \( y = |x| \) всегда неотрицателен.
Суммируем результаты
Мы нашли, что:
- В первом случае, \( y = 1 \).
- Во втором случае, \( y \in [0, 1) \).
Таким образом, \( y \) может принимать значения из интервала \( [0, 1] \).
Теперь возвращаемся обратно к \( x \):
\[ |x| \in [0, 1] \implies -1 \leq x \leq 1. \]
Следовательно, ответ в виде числового промежутка:
\[ [-1, 1]. \]
