Найдите два трёхзначных числа, сумма которых кратна 486, а частное кратно 8. В ответ запишите большее из этих трёхзначных чисел.
Обозначим два трёхзначных числа как \( x \) и \( y \). Условия задачи можно записать следующим образом:
- \( x + y \equiv 0 \mod 486 \)
- \( \frac{x}{y} \equiv 0 \mod 8 \)
Первое условие говорит о том, что сумма чисел \( x + y \) должна быть кратна 486. Поскольку \( x \) и \( y \) - трёхзначные числа, то наименьшая сумма (для \( x = 100 \) и \( y = 100 \)) составляет 200, а наибольшая (для \( x = 999 \) и \( y = 999 \)) - 1998. Поскольку сумма должна быть кратна 486, найдём ближайшие кратные 486 в диапазоне от 200 до 1998:
- Первое кратное 486, большее 200, это \( 486 \).
- Последнее кратное 486, меньшее 1998, это \( 1494 \).
Следовательно, возможные значения суммы \( x + y \) могут быть 486, 972, 1458 и 1944.
Теперь второе условие: дробь \( \frac{x}{y} \) должна быть кратна 8. Это значит, что \( x \) должно быть кратно \( 8y \). Отсюда, можем выразить \( x \) через \( y \):
\[ x = 8k \cdot y \]
где \( k \) - целое число, и подбираем \( k \) так, чтобы \( x \) оставалось трёхзначным.
Теперь подставляем \( x \) в первое уравнение:
\[ 8k \cdot y + y \equiv 0 \mod 486 \]
или:
\[ y(8k + 1) \equiv 0 \mod 486 \]
Так как \( y \) трёхзначное число, проверяем, когда \( y \) принимает значения от 100 до 999.
Решим для \( k \): Поскольку из условия \( y(8k + 1) \equiv 0 \mod 486 \), то \( 8k + 1\) должно быть кратно \( \frac{486}{\gcd(y, 486)}\).
Решим систему уравнений или подберём подходящие \( x \) и \( y \):
Проверяя разные \( k \):
Для \( k = 1 \):
\[ x = 8 \cdot 1 \cdot y = 8y \] (здесь \( 8y \) должно оставаться трёхзначным).
Теперь решим
\[ 8y + y = 9y \equiv 0 \mod 486, \]
так как:
\[ y \equiv 0 \mod \frac{486}{9} = 54. \]
Значит, \( y \) может быть 108, 162, 216, ... до 972.
Подставим \( y = 108 \):
\[ x = 8 \cdot 108 = 864, \] \[ x + y = 864 + 108 = 972, \]
кратно 486. Проверка:
\[ \frac{x}{y} = \frac{864}{108} = 8. \]
Подходящие значения: \( 864 \) и \( 108 \).
Таким образом, большее из чисел равно \( 864 \).
Ответ: \( 864 \).
