Реши

Привет! Давай разберёмся с задачей.

Нам нужно решить уравнение в натуральных числах: \( m^2 = 55 + n^2 \).

1. Переносим \( n^2 \) влево: \( m^2 - n^2 = 55 \).

Это разность квадратов, формула которого: \( (m+n)(m-n) = 55 \).

Теперь подберём подходящие пары (m+n) и (m-n), так чтобы их произведение было равно 55:

2. Разложим 55 на множители:
   • \( 55 = 5 \times 11 = 1 \times 55 \).

Попробуем все пары:

3. Для (m+n) и (m-n):

   • (11, 5):

     • Решаем систему:
       • \( m+n = 11 \)
       • \( m-n = 5 \)

   • Сложим два уравнения:

     • \( 2m = 16 \)
     • \( m = 8 \)

   • Найдём n:

     • \( 8-n = 5 \), значит \( n = 3 \).

   Проверим: \( m=8 \), \( n=3 \) --- всё верно, подходит.

   • (55, 1):

     • \( m+n = 55 \)
     • \( m-n = 1 \)

   • Сложим два уравнения:

     • \( 2m = 56 \)
     • \( m = 28 \)

   • Найдём n:

     • \( 28-n = 1 \), значит \( n = 27 \).

   Проверим: \( m=28 \), \( n=27 \) --- тоже подходит.

4. Получили m = 8 и m = 28.

Сумма значений m: 8 + 28 = 36.

Ответ: 36.