Сколько различных решений имеет система уравнений ((x+y)(x-3y+1)(x - y) = 0, (2y-x-1)(x+y-4)y = 0?

Для решения системы уравнений

\[ ((x+y)(x-3y+1)(x - y) = 0, \] \[ (2y-x-1)(x+y-4)y = 0, \]

нужно проанализировать каждое из условий, при которых произведения равны нулю.

Первое уравнение:

1. \( x + y = 0 \) → \( y = -x \)
2. \( x - 3y + 1 = 0 \) → \( x = 3y - 1 \)
3. \( x - y = 0 \) → \( x = y \)

Второе уравнение:

1. \( 2y - x - 1 = 0 \) → \( x = 2y - 1 \)
2. \( x + y - 4 = 0 \) → \( x = 4 - y \)
3. \( y = 0 \)

Теперь рассмотрим каждую из возможностей, что даст нам разные способы проверки, сколько решений может быть.

Поиск решений:

1. Если \( y = 0 \):

   • Из \( x + 0 = 0 \) получаем \( x = 0 \).
   • Из \( x = 3(0) - 1 \) практически не сработает.
   • Таким образом, одно решение: \( (0, 0) \).

2. Если \( y \) не равно нулю, то проверим другие случаи:

   • \( x + y = 0 \):

     • Подставляем в \( 2y - x - 1 = 0 \): \[ 2y - (-y) - 1 = 0 \implies 3y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{3}, \, x = -\frac{1}{3}. \]

   • \( x - 3y + 1 = 0 \):

     • Подставляем в \( x + y - 4 = 0 \): \[ (3y - 1) + y = 4 \implies 4y - 1 = 4 \implies 4y = 5 \implies y = \frac{5}{4}, \, x = 3\left(\frac{5}{4}\right) - 1 = \frac{15}{4} - 1 = \frac{11}{4}. \]

   • \( x - y = 0 \):

     • Подставляем в \( 2y - x - 1 = 0 \): \[ x = y \implies 2y - y - 1 = 0 \implies y = 1, x = 1. \]

Перечисление решений:

Итак, у нас следующие решения:

1. \( (0, 0) \)
2. \( \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \)
3. \( \left(\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\right) \)
4. \( (1, 1) \)

Итог:

Таким образом, система уравнений имеет четыре различных решения.