1) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в остатке 1, а при делении на 9 дает в остатке 3. 2) При каких значениях параметра a уравнение…

1. Для нахождения наименьшего натурального числа \( x \), которое при делении на 7 дает в остатке 1, а при делении на 9 дает в остатке 3, запишем это в виде системы сравнений:

\[ \begin{cases} x \equiv 1 \mod 7 \\ x \equiv 3 \mod 9 \end{cases} \]

Первое уравнение можно записать в виде: \[ x = 7k + 1 \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 7k + 1 \equiv 3 \mod 9 \] Упростим: \[ 7k \equiv 2 \mod 9 \]

Теперь найдем обратный элемент к 7 по модулю 9. Проверим значения \( k \):

• \( k = 0: 7 \cdot 0 \equiv 0 \mod 9 \)
• \( k = 1: 7 \cdot 1 \equiv 7 \mod 9 \)
• \( k = 2: 7 \cdot 2 \equiv 5 \mod 9 \)
• \( k = 3: 7 \cdot 3 \equiv 2 \mod 9 \)

Таким образом, \( k \equiv 3 \mod 9 \), или: \[ k = 9m + 3 \quad (m \in \mathbb{Z}) \]

Подставим это значение обратно: \[ x = 7(9m + 3) + 1 = 63m + 21 + 1 = 63m + 22 \]

Чтобы найти наименьшее натуральное число \( x \), положим \( m = 0 \): \[ x = 22 \]

Ответ: \( x = 22 \).

2. Рассмотрим уравнение: \[ \frac{x^2 - (a + 1)x + a}{x + a - 4} = 0 \] Уравнение имеет единственное решение, если числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю в одной и той же точке.

Решим уравнение: \[ x^2 - (a + 1)x + a = 0 \] Для единственного решения дискриминант должен быть равен нулю: \[ D = (a + 1)^2 - 4a = 0 \] Решим это: \[ (a + 1)^2 - 4a = 0 \\ a^2 - 2a + 1 = 0 \\ (a - 1)^2 = 0 \\ a = 1 \]

Теперь подставим \( a = 1 \) в знаменатель для проверки: \[ x + 1 - 4 = x - 3 \neq 0, \text{ если } x \neq 3 \] У нас есть единственное решение (при \( x = 3 \)), а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, значение \( a = 1 \) удовлетворяет условию.

В этом случае у нас есть только одно значение \( a \), поэтому его сумма: \[ \text{Сумма значений } a = 1 \]

Ответ: \( 1 \).