Монету бросают 5 раз. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза?
Для решения задачи о вероятности выпадения орла ровно 4 раза при 5 бросках монеты, воспользуемся биномиальным распределением.
Вероятность выпадения орла в одном броске равна 0,5 (или 50%). Для 5 бросков обозначим:
- \( n = 5 \) (общее число бросков),
- \( k = 4 \) (число успешных исходов — орлов),
- \( p = 0,5 \) (вероятность успеха в каждом броске),
- \( q = 1 - p = 0,5 \) (вероятность неудачи — решки).
Формула для вычисления вероятности по биномиальному распределению выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) \) — это коэффициент биномиального распределения, который вычисляется как:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Вычислим \( C(5, 4) \):
\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]
- Теперь подставим это значение в формулу вероятности:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0,5)^4 \cdot (0,5)^{1} = 5 \cdot (0,5)^4 \cdot (0,5) \]
- Упростим:
\[ P(X = 4) = 5 \cdot (0,5)^{5} = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \]
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза, равна \( \frac{5}{32} \) или примерно 0,15625 (15,625%).
