сколько существует пар натуральных чисел х и у таких что 3х+4у=100
Чтобы найти пары натуральных чисел \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют уравнению \(3x + 4y = 100\), начнем с преобразования этого уравнения.
- Убедимся, что \(x\) и \(y\) — натуральные числа, то есть \(x \geq 1\) и \(y \geq 1\).
- Перепишем уравнение для \(y\):
\[ 4y = 100 - 3x \implies y = \frac{100 - 3x}{4} \]
Чтобы \(y\) было натуральным числом, выражение \(100 - 3x\) должно быть кратно 4.
Рассмотрим \(100 - 3x \equiv 0 \mod 4\). Для этого, сначала найдем, чему равно \(100 \mod 4\):
\[ 100 \equiv 0 \mod 4 \]
Таким образом, \(3x \equiv 0 \mod 4\). Поскольку \(3\) и \(4\) взаимно простые, \(x\) должно быть кратно \(4\):
\[ x = 4k \quad (k \text{ — натуральное число}) \]
- Теперь подставим \(x\) в изначальное уравнение:
\[ 3(4k) + 4y = 100 \implies 12k + 4y = 100 \implies 4y = 100 - 12k \implies y = 25 - 3k \]
- Условия, при которых \(x\) и \(y\) остаются натуральными:
- \(k \geq 1\) (чтобы \(x\) был натуральным),
- \(25 - 3k \geq 1\) (чтобы \(y\) был натуральным):
\[ 25 - 3k \geq 1 \implies 3k \leq 24 \implies k \leq 8 \]
Таким образом, \(k\) может принимать значения от \(1\) до \(8\).
- Запишем все пары \((x, y)\):
- \(k = 1: x = 4(1) = 4, y = 25 - 3(1) = 22\)
- \(k = 2: x = 4(2) = 8, y = 25 - 3(2) = 19\)
- \(k = 3: x = 4(3) = 12, y = 25 - 3(3) = 16\)
- \(k = 4: x = 4(4) = 16, y = 25 - 3(4) = 13\)
- \(k = 5: x = 4(5) = 20, y = 25 - 3(5) = 10\)
- \(k = 6: x = 4(6) = 24, y = 25 - 3(6) = 7\)
- \(k = 7: x = 4(7) = 28, y = 25 - 3(7) = 4\)
- \(k = 8: x = 4(8) = 32, y = 25 - 3(8) = 1\)
Итак, существует 8 пар натуральных чисел \((x, y)\), которые удовлетворяют уравнению \(3x + 4y = 100\).
