Решите в натуральных числах уравнение m ^ 2 = 55 + n ^ 2 . В ответ запишите сумму полученных значений т.

Давайте решим уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах.

Сначала выразим \( m^2 \) через \( n^2 \):

\[ m^2 - n^2 = 55 \]

Формула разности квадратов нам поможет:

\[ (m - n)(m + n) = 55 \]

Теперь найдем все натуральные делители числа 55. Делители 55: 1, 5, 11, 55. На основе этих делителей мы можем составить пары \( (m-n) \) и \( (m+n) \):

1. Если \( m - n = 1 \) и \( m + n = 55 \):

   • Решаем систему:
   • \( m - n = 1 \)
   • \( m + n = 55 \)

   Сложим оба уравнения: \[ 2m = 56 \implies m = 28 \] Подставим значение \( m \) в одно из уравнений: \[ 28 - n = 1 \implies n = 27 \]

2. Если \( m - n = 5 \) и \( m + n = 11 \):

   • Решаем систему:
   • \( m - n = 5 \)
   • \( m + n = 11 \)

   Сложим оба уравнения: \[ 2m = 16 \implies m = 8 \] Подставим значение \( m \): \[ 8 - n = 5 \implies n = 3 \]

3. Если \( m - n = 11 \) и \( m + n = 5 \):

   • У этого случая не будет решения, так как \( m + n \) не может быть меньше \( m - n \).

4. Если \( m - n = 55 \) и \( m + n = 1 \):

   • Этот случай тоже не будет иметь решения, так как ни одно из значений не может быть отрицательным.

Итак, у нас есть два решения:

1. \( (m, n) = (28, 27) \)
2. \( (m, n) = (8, 3) \)

Теперь найдем сумму всех полученных значений \( n \): \[ 27 + 3 = 30 \]

Ответ: сумма полученных значений \( n \) равна 30.