Решите неравенство 4/х<=4-х. в ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку [-6; 6]

Давайте решим неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \).

Сначала преобразуем неравенство. Умножим обе части на \( x \), при условии, что \( x > 0 \) (так как множитель \( x \) не должен равняться нулю):

\[ 4 \leq (4 - x)x \]

Переносим все в одну сторону:

\[ (4 - x)x - 4 \geq 0 \]

Это можно записать как:

\[ 4x - x^2 - 4 \geq 0 \]

Перепишем уравнение:

\[ -x^2 + 4x - 4 \geq 0 \]

Умножим на \(-1\) (не забыв поменять знак неравенства):

\[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \]

Это неравенство может быть представлено как:

\[ (x - 2)^2 \leq 0 \]

Решением неравенства \((x - 2)^2 \leq 0\) является единственная точка \( x = 2 \).

Теперь рассмотрим другой случай, когда \( x < 0 \). При этом умножаем на \( x \) в неравенстве \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \):

\[ -4 \geq (4 - x)x \]

Разрешим это неравенство аналогичным образом:

\[ (x - 4)x + 4 \geq 0 \]

Подобную процедуру повторяем. В результате получаем:

\[ -x^2 + 4x + 4 \geq 0 \]

То есть:

\[ x^2 - 4x - 4 \leq 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{4 - \sqrt{32}}{2} = 2 - 2\sqrt{2} \] \[ x_2 = \frac{4 + \sqrt{32}}{2} = 2 + 2\sqrt{2} \]

Интервал, где \( x^2 - 4x - 4 \leq 0 \) будет между корнями \( [2 - 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2}] \).

Теперь давайте определим, какие целые значения находятся в промежутке \([-6; 6]\).

Значение \(2 - 2\sqrt{2}\) приблизительно равно \( -0.828 \), а \(2 + 2\sqrt{2}\) приблизительно равно \( 5.828 \).

Следовательно, целые решения в интервале от \([-6; 6]\):

\[ -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \]

Теперь находим их сумму:

\[ -1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14 \]

Таким образом, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \([-6; 6]\), равна \( 14 \).