Определите номер n если в геометрической прогрессии: q=- 2/3 b¹=81/4 bn=4

Чтобы определить номер \( n \) в данной геометрической прогрессии, воспользуемся формулой общего члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]

где:

• \( b_n \) — \( n \)-й член прогрессии,
• \( b_1 \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель (или коэффициент) прогрессии,
• \( n \) — номер члена, который мы ищем.

Из условия задачи мы имеем:

• \( b_1 = \frac{81}{4} \),
• \( q = -\frac{2}{3} \),
• \( b_n = 4 \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ 4 = \frac{81}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{(n-1)} \]

Теперь умножим обе стороны на \( 4 \) для упрощения уравнения:

\[ 16 = 81 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{(n-1)} \]

Теперь выразим степень:

\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^{(n-1)} = \frac{16}{81} \]

Теперь обратим внимание на то, что \( 16 = 2^4 \) и \( 81 = 3^4 \), следовательно:

\[ \frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = \left(-\frac{2}{3}\right)^{4} \]

Это указывает на то, что:

\[ n - 1 = 4 \]

Следовательно:

\[ n = 5 \]

Таким образом, номер \( n \) равен 5.