Решите уравнение x2+y2-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x-3y

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \), сначала приведем его к более удобному виду, сгруппировав и выделив полный квадрат:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Выделим полный квадрат для \(x\) и \(y\):

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]

Упрощаем уравнение:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Переносим 10 на правую часть:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Найдем целые решения этого уравнения.

Чтобы найти целые решения, рассмотрим значения \( (x - 1, y + 3) \), которые должны быть целыми числами и удовлетворять уравнению:

\[ a^2 + b^2 = 10 \]

Где \( a = x - 1 \) и \( b = y + 3 \). Найдем целочисленные пары \( (a, b) \):

1. \( (a, b) = (0, \pm 3) \) → \( (0, 3) \) и \( (0, -3) \)
2. \( (a, b) = (\pm 1, \pm 3) \) → \( (1, 3) \), \( (-1, 3) \), \( (1, -3) \), \( (-1, -3) \)
3. \( (a, b) = (\pm 3, \pm 1) \) → \( (3, 1) \), \( (3, -1) \), \( (-3, 1) \), \( (-3, -1) \)
4. \( (a, b) = (\pm \sqrt{10}, \text{нецелые числа}) \)

Теперь подставляем найденные пары в соответствующие формулы, чтобы получить значения \( x \) и \( y \):

1. \( (0, 3) \): \( x = 1 + 0 = 1 \), \( y = -3 + 3 = 0 \) → \( (1, 0) \)
2. \( (0, -3) \): \( x = 1 + 0 = 1 \), \( y = -3 - 3 = -6 \) → \( (1, -6) \)
3. \( (1, 3) \): \( x = 1 + 1 = 2 \), \( y = -3 + 3 = 0 \) → \( (2, 0) \)
4. \( (-1, 3) \): \( x = 1 - 1 = 0 \), \( y = -3 + 3 = 0 \) → \( (0, 0) \)
5. \( (1, -3) \): \( x = 1 + 1 = 2 \), \( y = -3 - 3 = -6 \) → \( (2, -6) \)
6. \( (-1, -3) \): \( x = 1 - 1 = 0 \), \( y = -3 - 3 = -6 \) → \( (0, -6) \)
7. \( (3, 1) \): \( x = 1 + 3 = 4 \), \( y = -3 + 1 = -2 \) → \( (4, -2) \)
8. \( (3, -1) \): \( x = 1 + 3 = 4 \), \( y = -3 - 1 = -4 \) → \( (4, -4) \)
9. \( (-3, 1) \): \( x = 1 - 3 = -2 \), \( y = -3 + 1 = -2 \) → \( (-2, -2) \)
10. \( (-3, -1) \): \( x = 1 - 3 = -2 \), \( y = -3 - 1 = -4 \) → \( (-2, -4) \)

Теперь подставим все найденные пары \( (x, y) \) в выражение \( x - 3y \) и найдем наибольшее значение:

1. \( (1, 0) \): \( 1 - 3 \cdot 0 = 1 \)
2. \( (1, -6) \): \( 1 - 3(-6) = 1 + 18 = 19 \)
3. \( (2, 0) \): \( 2 - 3 \cdot 0 = 2 \)
4. \( (0, 0) \): \( 0 - 3 \cdot 0 = 0 \)
5. \( (2, -6) \): \( 2 - 3(-6) = 2 + 18 = 20 \)
6. \( (0, -6) \): \( 0 - 3(-6) = 18 \)
7. \( (4, -2) \): \( 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)
8. \( (4, -4) \): \( 4 - 3(-4) = 4 + 12 = 16 \)
9. \( (-2, -2) \): \( -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4 \)
10. \( (-2, -4) \): \( -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \)

Наибольшее значение \( x - 3y \) равно 20.