Решите уравнения x2+y2-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x-3y

Для решения уравнения \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) сначала преобразуем его.

Перепишем уравнение, сгруппировав по \(x\) и \(y\):

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Теперь дополнительно квадратим:

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]

Упрощаем:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Отсюда следует:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\).

Теперь найдем все целые решения. Мы знаем, что \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10\) означает, что мы ищем целые точки, находящиеся на окружности радиуса \(\sqrt{10}\).

Перебираем все целые значения \( (a, b) \) такие, что \(a^2 + b^2 = 10\):

• \(a = 0\), \(b^2 = 10 \rightarrow\) нецелое.
• \(a = 1\), \(b^2 = 9 \rightarrow b = 3, -3\)
  • Решение: \( (2, 0) \) и \( (2, -6) \)
• \(a = 2\), \(b^2 = 6 \rightarrow\) нецелое.
• \(a = 3\), \(b^2 = 1 \rightarrow b = 1, -1\)
  • Решение: \( (4, -2) \), \( (4, -4) \)
• \(a = \sqrt{10}\) и выше не подойдут, так как они нецелые.

Соберем все целые решения:

1. \( (2, 0) \)
2. \( (2, -6) \)
3. \( (4, -2) \)
4. \( (4, -4) \)
5. \( (0, -3) \)
6. \((-2, -3)\)

Теперь вычислим значения выражения \(x - 3y\) для всех найденных решений:

1. Для \( (2, 0): 2 - 3 \cdot 0 = 2 \)
2. Для \( (2, -6): 2 - 3 \cdot (-6) = 2 + 18 = 20 \)
3. Для \( (4, -2): 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10 \)
4. Для \( (4, -4): 4 - 3 \cdot (-4) = 4 + 12 = 16 \)
5. Для \( (0, -3): 0 - 3 \cdot (-3) = 0 + 9 = 9 \)
6. Для \( (-2, -3): -2 - 3 \cdot (-3) = -2 + 9 = 7 \)

Сравнив все значения \(2, 20, 10, 16, 9, 7\), наибольшее значение выражения \(x - 3y\) равно 20.

Таким образом, ответ:

\[ \boxed{20} \]