Сколько существует пар натуральных чисел x,y таких что 3x+ 4y=100

Чтобы найти количество пар натуральных чисел \( x \) и \( y \), удовлетворяющих уравнению \( 3x + 4y = 100 \), начнём с того, что выразим \( y \) через \( x \):

\[ 4y = 100 - 3x \implies y = \frac{100 - 3x}{4}. \]

Теперь, чтобы \( y \) было натуральным числом, выражение \( 100 - 3x \) должно быть делимо на 4. Рассмотрим \( 100 - 3x \) по модулю 4:

\[ 100 \mod 4 = 0 \quad \text{и} \quad 3x \mod 4. \]

Так как \( 3 \equiv -1 \mod 4 \), можно записать:

\[ 100 - 3x \equiv 0 \mod 4 \implies 3x \equiv 0 \mod 4. \]

Это означает, что \( x \) должно быть делимо на 4. Обозначим \( x = 4k \), где \( k \) - натуральное число. Подставим \( x \) обратно в уравнение:

\[ 3(4k) + 4y = 100 \implies 12k + 4y = 100. \]

Упростим уравнение:

\[ 4y = 100 - 12k \implies y = 25 - 3k. \]

Теперь, чтобы \( y \) был натуральным числом, \( 25 - 3k \) должно быть больше нуля:

\[ 25 - 3k > 0 \implies 25 > 3k \implies k < \frac{25}{3} \approx 8.33. \]

Таким образом, так как \( k \) - натуральное число, \( k \) может принимать значения от 1 до 8. Это даёт 8 возможных значений для \( k \).

Следовательно, количество пар натуральных чисел \( (x, y) \), удовлетворяющих уравнению \( 3x + 4y = 100 \), равно 8.