У старого художника в студии было несколько учеников. Известно, что возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников и на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе. Сколько учеников у старого художника?
Давайте обозначим возраст старого художника как \( H \), средний возраст учеников как \( S \), а количество учеников как \( n \).
Согласно условиям задачи, у нас есть две важные информации:
Возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников: \[ H = S + 50 \]
Возраст художника на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе. Средний возраст себя и учеников можно выразить как: \[ \frac{H + n \cdot S}{n + 1} \] Тогда у нас получается: \[ H = \frac{H + n \cdot S}{n + 1} + 40 \]
Теперь подставим \( H \) из первого уравнения во второе:
\[ S + 50 = \frac{(S + 50) + n \cdot S}{n + 1} + 40 \]
Перепишем уравнение:
\[ S + 50 = \frac{S + 50 + nS}{n + 1} + 40 \]
Умножим обе стороны на \( n + 1 \) для устранения дроби:
\[ (n + 1)(S + 50) = S + 50 + nS + 40(n + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ nS + S + 50n + 50 = S + 50 + nS + 40n + 40 \]
Упрощаем уравнение, сокращая \( nS + S \) с обеих сторон:
\[ 50n + 50 = 50 + 40n + 40 \]
Теперь упростим:
\[ 50n + 50 = 40n + 90 \]
Выровняем все члены:
\[ 50n - 40n = 90 - 50 \]
Это даст нам:
\[ 10n = 40 \]
Следовательно:
\[ n = \frac{40}{10} = 4 \]
Таким образом, у старого художника 4 ученика.
