сколько существует пар натуральных чисел (x, y), таких, что 3x+4x=100
Давайте решим уравнение \(3x + 4y = 100\) для натуральных чисел \(x\) и \(y\).
Сначала упростим уравнение. Мы можем записать его как:
\[4y = 100 - 3x\]
Теперь выразим \(y\):
\[y = \frac{100 - 3x}{4}\]
Для того чтобы \(y\) было натуральным числом, числитель \(100 - 3x\) должен быть положительным и делиться на 4 без остатка.
- Находим границы для \(x\). Чтобы \(100 - 3x > 0\), мы получаем:
\[100 > 3x \Rightarrow x < \frac{100}{3} \approx 33.33\]
Таким образом, максимальное целое значение для \(x\) — это 33.
- Условие делимости на 4: Мы знаем, что \(100 - 3x\) должно быть делимо на 4. Рассмотрим \(100 \mod 4\):
\[100 \mod 4 = 0\]
Теперь рассматриваем \(3x \mod 4\):
- Если \(x \equiv 0 \mod 4 \Rightarrow 3x \equiv 0 \mod 4\)
- Если \(x \equiv 1 \mod 4 \Rightarrow 3x \equiv 3 \mod 4\)
- Если \(x \equiv 2 \mod 4 \Rightarrow 3x \equiv 2 \mod 4\)
- Если \(x \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow 3x \equiv 1 \mod 4\)
Мы ищем такие \(x\), при которых \(100 - 3x \equiv 0 \mod 4\). То есть \(3x \equiv 0 \mod 4\), а это возможно, когда \(x \equiv 0 \mod 4\) или \(x \equiv 2 \mod 4\).
- Подбор значений: Теперь мы можем подставлять значения \(x\) из диапазона от 1 до 33, которые удовлетворяют условию.
- \(x = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\) (для \(x \equiv 0 \mod 4\))
- \(x = 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30\) (для \(x \equiv 2 \mod 4\))
Подсчитаем количество возможных значений:
- Для \(x \equiv 0 \mod 4\): 8 значений (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32)
- Для \(x \equiv 2 \mod 4\): 8 значений (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30)
Теперь сумма всех возможных значений \(x\):
\[8 + 8 = 16\]
Таким образом, существует 16 пар натуральных чисел \((x, y)\), которые удовлетворяют уравнению \(3x + 4y = 100\).
