решите уравнение х²+у²-2х+6у=0 ответ дайте в целых числах. какое наибольшее значение х-3у

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \), начнём с того, чтобы привести его к более удобному виду. Мы можем сгруппировать и дополнить квадрат:

1. Для \( x^2 - 2x \) можно добавить и вычесть 1: \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \( y^2 + 6y \) нужно добавить и вычесть 9: \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]

Упростим: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь у нас есть уравнение окружности с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \).

Нам нужно найти целые значения \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют этому уравнению. Поскольку радиус \( \sqrt{10} \) примерно равен 3.16, это значит, что на окружности могут быть целочисленные точки в пределах от -2 до 4 по оси \( x \) и от -6 до 0 по оси \( y \).

Выберем целые значения \( x \) и вычислим соответствующие \( y \):

1. Для \( x = -2 \): \[ (-2 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 9 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad (y + 3)^2 = 1 \] Таким образом, \( y + 3 = \pm 1 \), то есть \( y = -2 \) или \( y = -4 \).

2. Для \( x = 0 \): \[ (0 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 1 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad (y + 3)^2 = 9 \] Здесь \( y + 3 = \pm 3 \), то есть \( y = 0 \) или \( y = -6 \).

3. Для \( x = 1 \): \[ (1 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 0 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad (y + 3)^2 = 10 \] Это не даёт целых решений.

4. Для \( x = 3 \): \[ (3 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 4 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad (y + 3)^2 = 6 \] Это также не даёт целых решений.

5. Для \( x = 4 \): \[ (4 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad 9 + (y + 3)^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad (y + 3)^2 = 1 \] Таким образом, \( y + 3 = \pm 1 \), то есть \( y = -2 \) или \( y = -4 \).

Теперь соберем все целые точки \( (x, y) \):

• \( (-2, -2) \)
• \( (-2, -4) \)
• \( (0, 0) \)
• \( (0, -6) \)
• \( (4, -2) \)
• \( (4, -4) \)

Нам нужно найти наибольшее значение \( x - 3y \):

• Для \( (-2, -2) \): \( -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4 \)
• Для \( (-2, -4) \): \( -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \)
• Для \( (0, 0) \): \( 0 - 3(0) = 0 \)
• Для \( (0, -6) \): \( 0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18 \)
• Для \( (4, -2) \): \( 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)
• Для \( (4, -4) \): \( 4 - 3(-4) = 4 + 12 = 16 \)

Наибольшее значение \( x - 3y \) среди найденных значений равно \( 18 \).

Таким образом, ответ: наибольшее значение \( x - 3y = 18 \).