решите уравнение x²+y²-2x+6y=0 в целых числах.В ответе укажите наибольшее значение выражения x-3y

Для решения уравнения \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) в целых числах, начнем с его упрощения. Мы можем сгруппировать и выделить полный квадрат.

Уравнение можно записать так:

\[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 0 \]

Теперь выделим полный квадрат в каждой группе. Для \(x^2 - 2x\) добавим и вычтем 1:

\[ (x - 1)^2 - 1 \]

Для \(y^2 + 6y\) добавим и вычтем 9:

\[ (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]

Упрощаем:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Следовательно:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Эта форма уравнения представляет собой окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). Теперь мы ищем целые решения, которые лежат на этой окружности.

Переберем возможные значения \(x - 1\) и \(y + 3\), такие что их квадраты в сумме равны 10. Рассмотрим все возможные пары целых чисел:

1. \( (x - 1, y + 3) = (3, 1) \) => \( x = 4, y = -2 \)
2. \( (x - 1, y + 3) = (1, 3) \) => \( x = 2, y = 0 \)
3. \( (x - 1, y + 3) = (-3, -1) \) => \( x = -2, y = -4 \)
4. \( (x - 1, y + 3) = (-1, -3) \) => \( x = 0, y = -6 \)
5. \( (x - 1, y + 3) = (0, 0) \) => \(x = 1, y = -3\)
6. (и пара отрицательных значений)

Теперь найдем \(x - 3y\) для каждого из найденных целых решений:

1. Для \( (4, -2) \): \(4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10\)
2. Для \( (2, 0) \): \(2 - 3(0) = 2\)
3. Для \( (-2, -4) \): \(-2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10\)
4. Для \( (0, -6) \): \(0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18\)
5. Для \( (1, -3) \): \(1 - 3(-3) = 1 + 9 = 10\)

Наилучшее значение \(x - 3y\), которое мы нашли, равно \(18\).

Таким образом, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) при целых значениях \(x\) и \(y\) равно \(18\).