X2+y2-2x+6y=0 в целых числах. В ответ укажите наибольшее значение выражения x-3y

Для того чтобы решить уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) и найти наибольшее значение выражения \(x - 3y\) в целых числах, начнем с преобразования данного уравнения.

Сначала упростим уравнение, выделяя полные квадраты:

1. Для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] Преобразуем это: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] или \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). Теперь найдем целые точки \((x, y)\) на этой окружности.

Для нахождения целых решений, рассмотрим возможные значения: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \] Решения будут:

1. \((x - 1, y + 3) = (3, 1)\), следовательно, \(x = 4\), \(y = -2\) → \(x - 3y = 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10\)
2. \((x - 1, y + 3) = (1, 3)\), следовательно, \(x = 2\), \(y = 0\) → \(x - 3y = 2 - 3 \cdot 0 = 2\)
3. \((x - 1, y + 3) = (-1, 3)\), следовательно, \(x = 0\), \(y = 0\) → \(x - 3y = 0 - 3 \cdot 0 = 0\)
4. \((x - 1, y + 3) = (-3, -1)\), следовательно, \(x = -2\), \(y = -4\) → \(x - 3y = -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10\)
5. Другие комбинации дают то же самое, в результате получаем целые решения.

Теперь подытожим возможные значения \(x - 3y\):

• Для \((4, -2)\) значение \(10\)
• Для \((0, 0)\) значение \(0\)
• Для \((-2, -4)\) значение \(10\)
• Для \((2, 0)\) значение \(2\)

Таким образом, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) среди всех целых решений равно 10.