2. Вычислите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 3 м и массой 10 кг относительно оси, перпендикулярной оси стержня на расстоянии 1/3 длины от его конца.
Чтобы вычислить момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к его длине и расположенной на расстоянии \( \frac{1}{3} \) длины от одного конца, можно использовать теорему о параллельных осях.
Сначала найдем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр. Для тонкого однородного стержня момент инерции относительно центральной оси (параллельной длине стержня) определяется по формуле:
\[ I_{cm} = \frac{1}{12} m L^2 \]
где:
- \( m \) — масса стержня,
- \( L \) — длина стержня.
Подставим данные:
- \( m = 10 \) кг,
- \( L = 3 \) м.
\[ I_{cm} = \frac{1}{12} \times 10 \times (3)^2 = \frac{1}{12} \times 10 \times 9 = \frac{90}{12} = 7.5 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \]
Теперь используем теорему о параллельных осях, чтобы найти момент инерции относительно новой оси:
\[ I = I_{cm} + m d^2 \]
где:
- \( d \) — расстояние от центра масс до новой оси. Поскольку ось расположена на расстоянии \( \frac{1}{3} \) длины от одного конца, то расстояние \( d \) от центра, который находится в середине стержня (на расстоянии \( \frac{L}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \) м от одного конца), будет равно:
\[ d = \left( \frac{1}{3}L - \frac{L}{2} \right) = \left( 1 - 1.5 \right) = -0.5 \text{ м} \]
Теперь подставим значения:
\[ I = I_{cm} + m d^2 = 7.5 + 10 \times (0.5)^2 = 7.5 + 10 \times 0.25 = 7.5 + 2.5 = 10 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \]
Таким образом, момент инерции тонкого однородного стержня длиной 3 м и массой 10 кг относительно оси, перпендикулярной к его длине и находящейся на расстоянии \( \frac{1}{3} \) длины от его конца, равен \( 10 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \).
