4/х ≤ 4-х
Чтобы решить неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \), сначала мы можем привести его к удобному виду. Начнем с того, что умножим обе стороны на \( x \), но необходимо помнить, что знак неравенства изменится, если \( x \) будет отрицательным:
- Переписываем неравенство:
\[ \frac{4}{x} \leq 4 - x \]
- Умножаем обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x > 0 \)):
\[ 4 \leq (4 - x)x \]
- Раскрываем правую часть:
\[ 4 \leq 4x - x^2 \]
- Переносим все в одну сторону:
\[ 0 \leq 4x - x^2 - 4 \]
- Переписываем это как:
\[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \]
- Это можно записать как:
\[ (x - 2)^2 \leq 0 \]
- Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, единственное решение этого неравенства:
\[ (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2 \]
Теперь давайте рассмотрим случай, когда \( x < 0 \). Если \( x \) отрицательно, то при умножении на \( x \) знак неравенства изменится, и у нас получится:
\[ 4 \geq (4 - x)x \]
Это неравенство не будет выполнено, так как левая часть \( 4 \) будет больше правой при отрицательном \( x \).
Таким образом, мы имеем единственное решение:
\[ x = 2 \]
Для полного ответа не забываем, что \( x \) не может быть равен нулю, так как дробь не определена.
Ответ: \( x = 2 \).
