4/х≤4-х в ответ запишите сумму целых решений неравенства принадлежащих промежутку [-6;6]

Решим неравенство \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \).

Для начала, переместим все члены на одну сторону неравенства:

\[ \frac{4}{x} - 4 + x \leq 0. \]

Теперь найдем общий знаменатель, чтобы объединить дробь и целые числа. Общий знаменатель для \( \frac{4}{x} \) и 1 (в данном случае) – это \( x \):

\[ \frac{4 - 4x + x^2}{x} \leq 0. \]

Упрощаем числитель:

\[ \frac{x^2 - 4x + 4}{x} \leq 0. \]

Числитель можно выделить в квадрат:

\[ \frac{(x - 2)^2}{x} \leq 0. \]

Теперь рассмотрим, когда дробь меньше или равна нулю. Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то \((x - 2)^2 \geq 0\). Таким образом, единственный момент, когда числитель равен нулю, это \( x = 2 \).

Далее, учитываем, что дробь имеет смысл при условии \( x \neq 0 \). Проверим знак дроби:

1. Когда \( x > 0 \), \((x - 2)^2 \geq 0\), а следовательно, \(\frac{(x - 2)^2}{x} \geq 0\).
2. Когда \( x < 0 \), \((x - 2)^2 \geq 0\) и \(x < 0\), следовательно, \(\frac{(x - 2)^2}{x} \leq 0\).

Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( (-\infty, 0) \) и при \( x = 2 \).

Теперь нам нужно найти целые решения неравенства в промежутке \([-6; 6]\):

Целые числа из промежутка \([-6; 6]\):

\(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).

Решения, входящие в наше множество: \( -6, -5, -4, -3, -2, -1\) и \( 2 \) (так как \( x = 2 \) также подходит).

Теперь найдём сумму всех целых значений:

\[ -6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 2 = -19. \]

Таким образом, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \([-6; 6]\), равна \(-19\).