У старого художника в студии было несколько учеников. Известно, что возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников и на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе. Сколько учеников у старого художника?
Давайте обозначим:
- возраст художника как \(H\),
- средний возраст учеников как \(A\),
- число учеников как \(n\).
Согласно условиям задачи, у нас есть следующие уравнения:
- \( H = A + 50 \) (возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников)
- \( H = \frac{H + nA}{n + 1} + 40 \) (возраст художника на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе)
Теперь давайте упростим второе уравнение. Перепишем его:
\[ H = \frac{H + nA}{n + 1} + 40 \]
Умножим обе стороны на \(n + 1\):
\[ H(n + 1) = H + nA + 40(n + 1) \]
Раскроем скобки:
\[ Hn + H = H + nA + 40n + 40 \]
Теперь уберем \(H\) с обеих сторон:
\[ Hn = nA + 40n + 40 \]
Поделим обе стороны на \(n\) (предполагая, что \(n \neq 0\)):
\[ H = A + 40 + \frac{40}{n} \]
Теперь у нас есть два уравнения для \(H\):
- \( H = A + 50 \)
- \( H = A + 40 + \frac{40}{n} \)
Приравняем правые части:
\[ A + 50 = A + 40 + \frac{40}{n} \]
Упрощая, получаем:
\[ 50 = 40 + \frac{40}{n} \]
Вычтем 40 из обеих сторон:
\[ 10 = \frac{40}{n} \]
Теперь, умножив обе стороны на \(n\), имеем:
\[ 10n = 40 \]
Разделим обе стороны на 10:
\[ n = 4 \]
Таким образом, у старого художника 4 ученика.
