на доске выписаны числа от 1 до 60 включительно назовем выписанные число особенным если сумма всех остальных чисел делится на него. Сколько всего особенных чисел на доске?

Для решения задачи начнем с определения, что обозначает "особенное" число. Число назовем особенным, если сумма всех остальных чисел (то есть сумма чисел от 1 до 60 без данного числа) делится на это число.

1. Найдем сумму всех чисел от 1 до 60. Сумма последовательных чисел от 1 до n вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \] В нашем случае \(n = 60\): \[ S_{60} = \frac{60 \cdot 61}{2} = 1830 \]

2. Пусть \(x\) — это особенное число. Сумма остальных чисел будет равна \(S_{60} - x\): \[ S_{60} - x = 1830 - x \] Мы хотим, чтобы \(1830 - x\) делилось на \(x\): \[ \frac{1830 - x}{x} \text{ должно быть целым числом.} \] Это можно переписать так: \[ 1830 - x = kx \quad \text{(где } k \text{ — целое число)} \] Перепишем уравнение: \[ 1830 = (k + 1)x \] Таким образом, \(x\) должно быть делителем числа 1830.

3. Теперь найдем все делители числа 1830. Для этого сначала найдем его разложение на простые множители: \[ 1830 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 61 \]

4. Количество делителей числа можно найти, используя формулу для количества делителей, основанную на разложении на простые множители. Если \(n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots \cdot p_m^{k_m}\), то количество делителей: \[ (k_1 + 1)(k_2 + 1) \cdots (k_m + 1) \] В нашем случае, все простые множители имеют степень 1:

   • \(2^1\) → \(1 + 1 = 2\)
   • \(3^1\) → \(1 + 1 = 2\)
   • \(5^1\) → \(1 + 1 = 2\)
   • \(61^1\) → \(1 + 1 = 2\)

   Таким образом, количество делителей числа 1830 будет: \[ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \]

Итак, на доске всего 16 особенных чисел.