решите неравенство 4/х≤4-х . в ответ запишите сумму целых решений неравенства, принадлежащих промежутку[-6;6]
Для решения неравенства \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \) начнем с приведения его к общему виду.
Первым шагом будет умножение обеих сторон неравенства на \( x \), но нужно помнить, что при этом знак неравенства изменится на противоположный, если \( x \) отрицательное. Рассмотрим два случая: когда \( x > 0 \) и \( x < 0 \).
- Случай 1: \( x > 0 \)
Умножаем обе стороны на \( x \): \[ 4 \leq (4 - x)x \] Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону: \[ 4 \leq 4x - x^2 \implies x^2 - 4x + 4 \leq 0 \implies (x - 2)^2 \leq 0 \] Это неравенство верно только при \( x = 2 \).
- Случай 2: \( x < 0 \)
Умножаем обе стороны на \( x \) и изменяем знак неравенства: \[ 4 \geq (4 - x)x \] Аналогично, раскроем скобки: \[ 4 \geq 4x - x^2 \implies x^2 - 4x + 4 \geq 0 \] Это неравенство всегда верно, так как дискриминант равен нулю (корни совпадают) и \( (x - 2)^2 \geq 0 \).
Таким образом, решение неравенства включает \( x = 2 \) и все \( x < 0 \).
Теперь нужно найти целые решения в диапазоне \([-6; 6]\). Целые решения, принадлежащие этому промежутку, это:
- \( -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) — здесь включаем только отрицательные целые числа и ноль, так как \( x \) должно быть меньше 0 или равно 2.
Список целых решений:
- \( -6, -5, -4, -3, -2, -1, 2 \)
Теперь находим сумму этих целых решений: \[ -6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 2 = -6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 2 = -19 \]
Таким образом, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \([-6; 6]\), равна \( \boxed{-19} \).
