Стороны прямоугольника измеряются целым числом сантиметров. Одно из его измерений увеличили на 99 см, а другое – уменьшили на 1 см. При этом получили новый прямоугольник меньшей площади. Какой наименьший периметр мог быть у исходного прямоугольника?
Рассмотрим задачу. Пусть длина исходного прямоугольника составляет \( a \) см, а ширина \( b \) см, где \( a \) и \( b \) – целые числа. Тогда площадь исходного прямоугольника равна \( S = a \cdot b \).
После изменения размеров нового прямоугольника мы получаем:
- Одно измерение увеличивается на 99 см: \( a + 99 \).
- Другое измерение уменьшается на 1 см: \( b - 1 \).
Площадь нового прямоугольника равна \( S' = (a + 99)(b - 1) \).
Условие задачи гласит, что новая площадь меньше исходной:
\[ (a + 99)(b - 1) < a \cdot b. \]
Раскроем левую часть неравенства:
\[ ab - a + 99b - 99 < ab. \]
Теперь упростим неравенство:
\[ 99b - a - 99 < 0, \] или \[ 99b < a + 99, \] что эквивалентно \[ a > 99b - 99. \]
Теперь нам нужно найти наименьший периметр исходного прямоугольника, который равен \( P = 2(a + b) \).
Исходя из неравенства \( a > 99b - 99 \), давайте выберем разные значения \( b \) и найдем соответствующее значение \( a \), чтобы минимизировать периметр.
Если \( b = 1 \): \[ a > 99(1) - 99 \Rightarrow a > 0. \] Возьмем \( a = 1 \). Периметр \( P = 2(1 + 1) = 4 \).
Если \( b = 2 \): \[ a > 99(2) - 99 \Rightarrow a > 99. \] Возьмем \( a = 100 \). Периметр \( P = 2(100 + 2) = 204 \).
Если \( b = 3 \): \[ a > 99(3) - 99 \Rightarrow a > 198. \] Возьмем \( a = 199 \). Периметр \( P = 2(199 + 3) = 404 \).
Как видно, при увеличении \( b \) периметр возрастает. Поскольку для \( b = 1 \) мы получили минимально возможный периметр.
Таким образом, наименьший периметр исходного прямоугольника, при условиях задачи, составляет 4.
