Стороны прямоугольника измеряются целым числом сантиметров. Одно из его измерений увеличили на 99 см, а другое – уменьшили на 1 см. При этом получили новый прямоугольник меньшей…

Для решения этой задачи обозначим стороны исходного прямоугольника как \( a \) и \( b \), где \( a \) и \( b \) – целые числа, измеряемые в сантиметрах. Мы знаем, что одно измерение увеличивают на 99 см, а другое уменьшают на 1 см. Тогда новые размеры прямоугольника будут \( (a + 99) \) и \( (b - 1) \).

Площадь исходного прямоугольника равна \( S_1 = a \cdot b \). Площадь нового прямоугольника равна \( S_2 = (a + 99) \cdot (b - 1) \).

Условие задачи гласит, что площадь нового прямоугольника меньше площади исходного:

\[ (a + 99) \cdot (b - 1) < a \cdot b \]

Раскроем скобки в неравенстве:

\[ ab - a + 99b - 99 < ab \]

Упростим:

\[ - a + 99b - 99 < 0 \]

Переносим \( a \) и \( 99 \) в правую часть:

\[ 99b < a + 99 \]

Таким образом, получаем:

\[ a > 99b - 99 \]

Теперь нам необходимо найти наименьший периметр исходного прямоугольника, который равен \( P = 2(a + b) \). Чтобы минимизировать периметр, нужно минимизировать сумму \( a + b \).

Обозначим:

\[ a = 99b - 99 + k, \]

где \( k \) – положительное целое число (поскольку \( a \) должно быть больше \( 99b - 99 \)). Теперь подставим это в периметр:

\[ P = 2((99b - 99 + k) + b) = 2(100b - 99 + k) = 200b - 198 + 2k. \]

Чтобы минимизировать \( P \), нужно минимизировать \( b \). Обратите внимание, что \( b \) также должно быть целым положительным числом, поэтому наименьшее значение для \( b \) – это 1. Подставим \( b = 1 \):

\[ a > 99 \cdot 1 - 99 = 0 \quad (значит, a \geq 1). \]

При \( b = 1 \) минимальное значение \( a = 1 \) (так как \( a \) и \( b \) должны быть положительными).

Теперь найдём периметр:

\[ P = 2(1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4. \]

Однако, проверим, удовлетворяют ли размеры условию задачи:

Исходный прямоугольник имеет размеры \( 1 \) и \( 1 \). Площадь \( S_1 = 1 \cdot 1 = 1 \). Новый прямоугольник: одно измерение \( 1 + 99 = 100 \), другое \( 1 - 1 = 0 \), что в геометрическом смысле не подходит.

Таким образом, увеличим \( b \) до 2:

При \( b = 2 \):

\[ a > 99 \cdot 2 - 99 = 99. \] Значит, минимально \( a = 100 \).

Теперь найдем периметр:

\[ P = 2(100 + 2) = 2 \cdot 102 = 204. \]

При этом проверим площади:

Исходный: \( S_1 = 100 \cdot 2 = 200 \). Новый: \( S_2 = (100 + 99)(2 - 1) = 199 \cdot 1 = 199 \) (что меньше 200).

Таким образом, такой прямоугольник удовлетворяет заданному условию.

Ответ: минимальный периметр исходного прямоугольника равен 204.