Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Чтобы найти наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее заданным условиям, начнем с формирования уравнений на основе данных условий.

Обозначим трёхзначное число как \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — его цифры. Тогда:

1. Сумма цифр: \(a + b + c = 15\)
2. Сумма квадратов цифр: \(a^2 + b^2 + c^2 = 89\)
3. Если из числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: \(100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a\).

Запишем это третье условие более явно: \[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \] Упрощая, получаем: \[ 99a - 99c = 99 \] Отсюда следует, что \(a - c = 1\) или \(a = c + 1\).

Теперь подставим \(a = c + 1\) в первые два уравнения:

1. \( (c + 1) + b + c = 15 \) или \( 2c + b + 1 = 15 \), что упрощается до \( 2c + b = 14 \) (уравнение 1).
2. \( (c + 1)^2 + b^2 + c^2 = 89 \) или \( c^2 + 2c + 1 + b^2 + c^2 = 89 \), что упрощается до \( 2c^2 + b^2 + 2c + 1 = 89 \). Упростив, получаем \( 2c^2 + b^2 + 2c - 88 = 0 \) (уравнение 2).

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1. \( 2c + b = 14 \)
2. \( 2c^2 + b^2 + 2c - 88 = 0 \)

Из уравнения 1 выразим \(b\): \[ b = 14 - 2c \]

Подставим это значение в уравнение 2: \[ 2c^2 + (14 - 2c)^2 + 2c - 88 = 0 \]

Раскроем скобки: \[ 2c^2 + (196 - 56c + 4c^2) + 2c - 88 = 0 \] \[ 6c^2 - 54c + 108 = 0 \]

Теперь упростим это уравнение, разделив все на 6: \[ c^2 - 9c + 18 = 0 \]

Найдем дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]

Теперь найдём корни: \[ c = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2} \] Это дает:

1. \( c = 6 \)
2. \( c = 3 \)

Теперь подставим значения \(c\) обратно, чтобы найти \(a\) и \(b\):

1. Для \(c = 6\):

   • \( a = c + 1 = 7 \)
   • \( b = 14 - 2 \cdot 6 = 2 \)
   • Число \( = 726 \)

2. Для \(c = 3\):

   • \( a = c + 1 = 4 \)
   • \( b = 14 - 2 \cdot 3 = 8 \)
   • Число \( = 483 \)

Теперь проверим, удовлетворяет ли \(726\) условиям:

• Сумма: \(7 + 2 + 6 = 15\)
• Сумма квадратов: \(7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89\)
• Перевернутое число от \(726 - 99 = 627\) — это действительно \(726\), записанное наоборот.

Теперь проверим \(483\):

• Сумма: \(4 + 8 + 3 = 15\)
• Сумма квадратов: \(4^2 + 8^2 + 3^2 = 16 + 64 + 9 = 89\)
• Перевернутое число от \(483 - 99 = 384\) — это не совпадает с числом \(483\) в обратном порядке.

Таким образом, наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям, это \(726\).