У старого художника в студии было несколько учеников. Известно, что возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников и на 40 лет больше среднего возраста себя и…
У старого художника в студии было несколько учеников. Известно, что возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников и на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе. Сколько учеников у старого художника?
Для решения задачи давайте обозначим:
- возраст художника как \( A \),
- средний возраст учеников как \( M \),
- количество учеников как \( N \).
Из условия задачи мы знаем два уравнения:
- \( A = M + 50 \) (возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников).
- \( A = \frac{A + N \cdot M}{N + 1} + 40 \) (возраст художника на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе).
Рассмотрим второе уравнение. Поскольку средний возраст группы это сумма возрастов, деленная на количество, мы можем выразить его следующим образом:
\[ A = \frac{A + N \cdot M}{N + 1} + 40. \]
Умножим обе стороны на \( N + 1 \):
\[ A(N + 1) = A + N \cdot M + 40(N + 1). \]
Раскроем скобки:
\[ AN + A = A + N \cdot M + 40N + 40. \]
Сократим \( A \) с обеих сторон:
\[ AN = N \cdot M + 40N + 40. \]
Теперь можем выразить \( M \):
\[ AN - 40N - 40 = N \cdot M. \]
Разделим обе стороны на \( N \) (при условии, что \( N \neq 0 \)):
\[ M = A - 40 - \frac{40}{N}. \]
Теперь подставим первое уравнение \( A = M + 50 \) в это уравнение:
\[ M = (M + 50) - 40 - \frac{40}{N}. \]
Упростим уравнение:
\[ M = M + 10 - \frac{40}{N}. \]
Сократим \( M \):
\[ 0 = 10 - \frac{40}{N}. \]
Переносим \( \frac{40}{N} \) в левую часть:
\[ \frac{40}{N} = 10. \]
Теперь умножим обе стороны на \( N \):
\[ 40 = 10N. \]
Разделим обе стороны на 10:
\[ N = 4. \]
Таким образом, у старого художника 4 ученика.
