Напиши уравнение прямой а.х + by + с = 0, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек А(4; 1) и В(8; 8). Для решения задачи используй формулу расстояния между двумя точками. (В первое окошко пиши положительное число. Отрицательное число пиши без скобок: Коэффициенты уравнения в ответе сокращать не нужно!)
Чтобы найти уравнение прямой, которая будет равноудалена от точек \( A(4; 1) \) и \( B(8; 8) \), нам нужно использовать концепцию перпендикулярного bisектора отрезка \( AB \).
- Найдем середину отрезка \( AB \):
Середина отрезка определяется как среднее арифметическое координат конца отрезка.
\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{4 + 8}{2}, \frac{1 + 8}{2} \right) = \left( 6, 4.5 \right) \]
- Найдем наклон прямой \( AB \):
Сначала находим угол наклона, используя формулу:
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 1}{8 - 4} = \frac{7}{4} \]
- Угол наклона перпендикулярного bisектора: Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен отрицательному обратному значению углового коэффициента прямой \( AB \):
\[ k_{\perp} = -\frac{1}{k} = -\frac{4}{7} \]
- Запишем уравнение прямой через точку \( M(6, 4.5) \): Уравнение прямой в общем виде:
\[ y - y_0 = k(x - x_0) \]
где \( (x_0, y_0) = (6, 4.5) \) и \( k = -\frac{4}{7} \).
Подставим значения:
\[ y - 4.5 = -\frac{4}{7}(x - 6) \]
- Перепишем это уравнение: Умножим обе стороны на 7, чтобы избавиться от дроби:
\[ 7(y - 4.5) = -4(x - 6) \]
Раскроем скобки:
\[ 7y - 31.5 = -4x + 24 \]
Приведем к стандартному виду:
\[ 4x + 7y - 55.5 = 0 \]
- Перепишем уравнение в нужном виде: Теперь у нас есть уравнение прямой:
\[ 4x + 7y - 55.5 = 0 \]
Так как в вопросе требуется, чтобы все коэффициенты были целыми числами, мы можем домножить все коэффициенты на 2, чтобы избавиться от десятичной точки:
\[ 8x + 14y - 111 = 0 \]
Таким образом, уравнение прямой, все точки которой находятся на равных расстояниях от точек \( A(4; 1) \) и \( B(8; 8) \):
\[ 8x + 14y - 111 = 0 \]
